Kỳ thi chọn học sinh giỏi vòng Huyện môn Toán 8 - Năm học 2011-2012 - Trường THCS Phong Tân (Có hướng dẫn chấm)
Câu 1: (4điểm)
a. Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
b. Chứng minh rằng nếu a, b, c là ba cạnh của một tam giác thì a dương?
Câu 2: (4điểm) Biết a(a + 2) + b(b – 2) – 2ab = 63. Tính a – b?
Câu 3: (4điểm) Cho a là số nguyên. Chứng minh biểu thức:
M = (a + 1).(a + 2).(a + 3).(a + 4) + 1 là bình phương của một số nguyên.
Câu 4: (4điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A. Kẻ đường cao AH. Từ H kẻ HI vuông góc với AB tại I, HK vuông góc với AC tại K. Gọi M, N theo thứ tự là các trung điểm của các đoạn thẳng BH, HC. Chứng minh tứ giác MNKI là hình thang vuông.
Câu 5: (4điểm)
a. Chứng minh rằng: Đa thức x2011 + x2010 + x2009 + …… + x2 + x + 1 chia hết cho đa thức x502 + x501 + x500 + …… + x2 + x + 1.
b. Tìm số dư trong phép tính sau: (x + 1) (x + 3) (x + 5) (x + 7) + 2012 chia cho x2 + 8x + 11.
4 trang
17/07/2023
3660
File đính kèm:
- ky_thi_chon_hoc_sinh_gioi_vong_huyen_mon_toan_8_nam_hoc_2011.doc
Nội dung text: Kỳ thi chọn học sinh giỏi vòng Huyện môn Toán 8 - Năm học 2011-2012 - Trường THCS Phong Tân (Có hướng dẫn chấm)
- KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VÒNG HUYỆN, NĂM HỌC: 2011-2012 Hướng dẫn chấm môn: Toán 8 Thời gian: 120 phút (không kể thời gian phát đề) ___ Câu 1: (4điểm) a. Ta có: A 2a2b2 2b2c2 2a2c2 a4 b4 c4 4a2b2 a4 2a2b2 b4 2b2c2 2a2c2 c4 (0.5đ) 2 4a2b2 a2 b2 2c2 a2 b2 c4 (0.5đ) 2 2 2 2 4 2ab a b c (0.5đ) 2ab a2 b2 c2 2ab a2 b2 c2 (0.5đ) a b 2 c2 c2 a b 2 (0.25đ) a b c a b c a c b b c a (0.25đ) b. Vì a, b, c là ba cạnh của một tam giác nên: a + b + c > 0 (0.25đ) a + b - c > 0 (0.25đ) a + c - b > 0 (0.25đ) b + c - a > 0 (0.25đ) Suy ra A > 0 (0.5đ) Câu 2: (4điểm) Ta có : a( a + 2 ) + b( b – 2) – 2ab = 63 a2 + 2a + b2 – 2b – 2ab = 63 (0,5đ) (a2 – 2ab + b2) + (2a – 2b) = 63 (0,5đ) (a – b)2 + 2(a – b) – 63 = 0 (0,5đ) Đặt: X = a – b , ta có: (0,5đ) X2 + 2X – 63 = 0 (0,5đ) X2 – 7X + 9X – 63 = 0 (0,5đ) (X2 – 7X) + (9X – 63) = 0 (0,5đ) X(X – 7) + 9(X – 7) = 0 (0,5đ) (X – 7) (X + 9) = 0 (0,5đ) X – 7 = 0 hoặc X + 9 = 0 (0,5đ) X = 7 hoặc X = - 9 (0,5đ) a – b = 7 hoặc a – b = - 9 (0,5đ) Câu 3: (4điểm) Ta có: M = ( a + 1).(a + 2).(a + 3).(a + 4) + 1 = [(a + 1). (a + 4)].[(a + 2). (a + 3)] +1 (0,5đ) = (a2 + 5a + 4). ( a2 + 5a + 6) + 1 (0,5đ) Đặt a2 + 5a + 4 = y (0,5đ) Ta có: M = y.(y + 2) + 1 = y2 + 2y +1 = (y + 1)2 (0,5đ) 2
- = (x502 + x501 + x500 + + x2 + x + 1)( x1509 + x1006 + x503 + 1) (0,5đ) Vậy Đa thức x 2011 + x2010 + x2009 + + x2 + x + 1 chia hết cho đa thức x 502 + x501 + x500 + + x2 + x + 1 (0,5đ) b. Ta có: (x + 1) (x + 3) (x + 5) (x + 7) = (x + 1)(x + 7)(x + 3) (x + 5) = (x2 + 8x + 7)( x2 + 8x + 15) (0,5đ) Đặt x2 + 8x + 11 = t, thì: (x + 1) (x + 3) (x + 5) (x + 7) + 2012 = (t2 – 16 + 2012) = t2 + 1996 = (x2 + 8x + 11)2 + 1996 (1đ) Vậy số dư là 1996 (0,5đ) 4
