Kỳ thi chọn học sinh giỏi vòng Huyện môn Toán 8 - Năm học 2013-2014 (Có hướng dẫn chấm)
Câu 1: (5điểm; mỗi câu 2.5điểm)
a. Tìm các giá trị nguyên của x để biẻu thức có giá trị nguyên và tìm p khi đó.
b. Chứng minh rằng tổng các lập phương của ba số nguyên dương liên tiếp thì chia hết cho 9.
Câu 2: (5điểm; mỗi câu 2.5điểm)
a. Chứng minh rằng nếu a + b + c = 0 thì a3 + b3 + c3 = 3abc.
b. Phân tích đa thức thành nhân tử:
[4abcd + (a2 + b2) (c2 + d2)]2 – 4[cd(a2 + b2) + ab(c2 + d2)]2
Câu 3: (5điểm; mỗi câu 2.5điểm)
a. Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:
b. Cho ba số x, y, z thỏa mản . Tìm giá trị lớn nhất của .
Câu 4: (5điểm) Cho hình vuông ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại O, M là trung điểm của BO, N là trung điểm CD. Chứng minh: Tam giác AMN vuông cân.
5 trang
13/07/2023
2320
Bạn đang xem tài liệu "Kỳ thi chọn học sinh giỏi vòng Huyện môn Toán 8 - Năm học 2013-2014 (Có hướng dẫn chấm)", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên.
File đính kèm:
- ky_thi_chon_hoc_sinh_gioi_vong_huyen_mon_toan_8_nam_hoc_2013.doc
Nội dung text: Kỳ thi chọn học sinh giỏi vòng Huyện môn Toán 8 - Năm học 2013-2014 (Có hướng dẫn chấm)
- KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VÒNG HUYỆN, NĂM HỌC: 2013-2014 Hướng dẫn chấm môn: Toán 8 Thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề) ___ Câu 1: (4điểm) 2x 2 3x 3 (2x 2 x) (4x 2) 5 5 a. (2,5điểm). P = x 2 (0,25điểm) 2x 1 2x 1 2x 1 x nguyên do đó x + 2 có giá trị nguyên Để P có giá trị nguyên thì 5 phải nguyên hay 2x - 1 là ước nguyên của 5. 2x 1 (0,25điểm) => * 2x - 1 = 1 => x = 1 (0,25điểm) * 2x - 1 = -1 => x = 0 (0,25điểm) * 2x - 1 = 5 => x = 3 (0,25điểm) * 2x - 1 = -5 => x = -2 (0,25điểm) Vậy x = 1;0;3; 2 thì P có giá trị nguyên Khi đó các giá trị nguyên của P là: x = 1 => P = 8 (0,25điểm) x = 0 => P = -3 (0,25điểm) x = 3 => P = 6 (0,25điểm) x = -2 => P = -1 (0,25điểm) . b. (2,5điểm). Gọi ba số nguyên dương liên tiếp là n; n+1; n+2 Ta phải chứng minh : [n3 +(n+1)3 +(n+2)3 ] 9 (*). (0,25điểm) - Với n=1, ta có :13 +23 +33 =1+8+27=36 là số chia hết cho 9 Vậy mệnh đề (*) đúng với n=1. . (0,25 điểm) - Giả sử (*) đúng với n=k 1 (k N) tức là [k3 +(k+1)3 +(k+2)3 ] 9 (0,25điểm) - Ta phải chứng minh rằng (*) cũng đúng với n=k+1, tức là phải chứng minh [(k+1)3 +(k+2)3 +(k+3)3] 9 .(0,25điểm) Ta có (k+1)3+(k+2)3+(k+3)3 =(k+1)3+(k+2)3 +k3 +9k2 +27k+27 (0,25điểm) =[k3 +(k+1)3 +(k+2)3 ] +9(k2+3k+3) . (0,25điểm) Ta thấy [k3 +(k+1)3 +(k+2)3 ] 9 (theo * ),còn 9(k2+3k+3) cũng chia hết cho 9 với mọi k. (0,5 điểm) Do đó [(k+1)3 +(k+2)3 +(k+3)3] 9 (0,25điểm) - Kết luận : Mệnh đề (*) đúng với mọi số nguyên dương n. (0,25điểm) Vậy tổng các lập phương của ba số nguyên dương liên tiếp thì chia hết cho 9 (0,25điểm) 2
- 0.25điểm Vì a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác nên: (a + b - c) > 0 (c + a - b) > 0 (b + c - a) > 0 Do đó (a + b - c)(c + a - b) (b + c - a) > 0 0.25điểm Vậy a(b - c)2 + b(c - a)2 + c(a + b)2 > a3 + b3 + c3 0.25điểm ( b., Ta có: B xy z x y xy 3 x y x y (0,25điểm) xy 3 x y x y 2 x2 y2 xy 3x 3y (0,5điểm) 2 y 3 3y2 6y 9 x (0,5điểm) 2 4 2 y 3 3 2 x y 1 3 3 (0,5điểm) 2 4 y 1 0 y 3 Dấu = xảy ra khi x 0 x y z 1 (0,5điểm) 2 x y z 0 Vậy giá trị lớn nhất của B là 3 khi x = y = z = 1 (0,25điểm) Câu 4: (5điểm) Giải A B M O D N P C Vẽ hình đúng: (0,5điểm) 4
