Đề thi chọn HSG cấp Huyện môn Toán Lớp 9 - Năm học 2014-2015 (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi chọn HSG cấp Huyện môn Toán Lớp 9 - Năm học 2014-2015 (Có đáp án)

1. KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 VÒNG HUYỆN NĂM HỌC: 2014-2015 Hướng dẫn chấm môn: Toán 9 Thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề) ___ Câu 1: (5điểm) a. (2điểm) (2x + y + 1)(x + y + 1) = -1 = (-1). 1 = 1.(-1) (0.5điểm) Xét 2 trường hợp ta có: 2x + y + 1 = -1 và 2x + y + 1 = 1 (0.5điểm) {x + y + 1 = 1 {x + y + 1 = -1 Giải ra ta được 2 cặp số: (-2 ; 2); (2 ; - 4) (0.5điểm) Vậy phương trình có nghiệm là: (x, y) = (-2; 2); (2; - 4) (0.5điểm) b. (3điểm) x3(x2 – 7)2 – 36x = x[x2(x2 – 7)2 – 36] (0,25điểm) = x[x(x2 – 7) – 6][x(x2 – 7) + 6] (0,25điểm) = x(x3 – 7x – 6)(x3 – 7x + 6) (0,25điểm) = x(x3 – x – 6x – 6)(x3 – x – 6x + 6) (0,25điểm) = x[x(x2 – 1) – 6(x + 1)][x(x2 – 1) – 6(x – 1)] (0,25điểm) = x(x + 1)[x(x – 1) – 6](x – 1)[x(x + 1) – 6] (0,25điểm) = x(x + 1)(x2 – x – 6)(x – 1)(x2 + x – 6) (0,25điểm) = x(x + 1)(x2 + 2x – 3x – 6)(x – 1)(x2 – 2x + 3x – 6) (0,25điểm) = x(x + 1)[x(x + 2) – 3(x + 2)](x – 1)[x(x – 2) + 3(x – 2)] (0,25điểm) = x(x + 1)(x + 2)(x – 3)(x – 1)(x – 2)(x + 3) (0,25điểm) Từ đó ta được các nghiệm của phương trình x3(x2 – 7)2 – 36x = 0 là x 0 hoặc x 1 hoặc x 2 hoặc x 3 (0,5điểm) Câu 2: (5điểm) a. (3điểm) Để n2 18n 10 là một số chính phương n2 18n 10 k 2 (k N) (0,25điểm) n2 18n 81 k 2 10 81 (0,25điểm) 2 n 9 k 2 91 (0,25điểm) n 9 k n 9 k 91 (0,25điểm) Vì: n 9 k n 9 k (0,5điểm) Ta có 4 trường hợp sau: n 9 k 91 n k 100 n 55 +/ (Nhận) (0,25điểm) n 9 k 1 n k 10 k 45 n 9 k 1 n k 8 n 45 +/ (Loại) (0,25điểm) n 9 k 91 n k 82 k 37 2
2. Câu 4: (5điểm) Vẽ hình đúng (0,25điểm) a. Kẻ qua A đường thẳng song song với CM cắt DB tai Q. Hai tam (0,25điểm) giác ADQ và CBP bằng nhau (g-c-g) suy ra AQ CP Tứ giác AQPM có cặp cạnh đối AQ và CP song song và bằng nhau (0,25điểm) nên là hình bình hành, suy ra . Vì FAAM ABD, (0,25điểm) mà FAAM AFE, ABD BAAC, (0,25điểm) nên FAAM BAAC, (0,25điểm) MA cắt EF tai O, xét ∆CAM có PO là đường trung bình nên (0,25điểm) Từ (1) và (2) theo tiên đề Ơclit ta có hai đường thẳng OP, EF trùng (0,25điểm) nhau nên 3 điểm E, F, P thẳng hàng. b. Hai tam giác vuông MAF và DBA có hai góc nhọn tương ứng (0,5điểm) FAAM và ABD bằng nhau nên đồng dạng, MF DA (0,5điểm) Suy ra : không đổi FA BA PD PB (0,25điểm) c. Từ giả thiết suy ra k, k 0. 9 16 PD 9k; PB 16k (3) (0,25điểm) Từ giả thiêt CP  BD suy ra CP là đường cao ứng với cạnh huyền (0,25điểm) của tam giác vuông BCD, nên theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có: CP2 PD.PB (2,4)2 9k.16k k 0,2 (4) (0,25điểm) Từ (3) và (4) PD 1,8 và PB 3,2 (0,25điểm) Nên BD PD PB 1,8 3,2 5. (0,25điểm) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông BCD ta có: (0,25điểm) BC 2 BP.BD (3,2).5 16 BC 4. Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông BAD ta có: (0,25điểm) BD2 AB2 AD2 AB BD2 AD2 52 42 3. 4