Sáng kiến kinh nghiệm Một số kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 6 dạng chia hết

Nội dung text: Sáng kiến kinh nghiệm Một số kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 6 dạng chia hết

1. không làm được mặc dù học sinh đã được làm quen tiếp cận các dạng toán, qua bài giảng của giáo viên, qua sách vở, tài liệu; Để đáp ứng được yêu cầu của sự nghiệp giáo dục và nhu cầu của học sinh, trong giảng dạy chúng ta phải biết chọn lọc nội dung kiến thức, phải đi từ dễ đến khó, từ cụ thể đến trừu tượng và phát triển thành tổng quát giúp học sinh có thể phát triển tư duy toán học. Trong quá trình giảng dạy và bồi dưỡng học sinh giỏi, tôi nhận thấy phép chia hết là một dạng toán đặc biệt quan trọng và không thể thiếu ở lớp 6; Các bài toán về phép chia hết rất phong phú và đa dạng, nó tương đối khó đối với học sinh lớp 6. Để giải các bài toán về chia hết học sinh phải nắm được định nghĩa phép chia hết, các dấu hiệu chia hết, tính chất về chia hết, phải tổng hợp các kiến thức và kỹ năng tính toán, tư duy sáng tạo; Vậy làm thế nào để học sinh có thể định hướng được hướng đi, hay hơn thế là hình thành được một “kỹ năng” nào đó mà mỗi khi gặp một bài toán chia hết thì có thể giải được một cách dễ dàng; Là người trực tiếp giảng dạy toán trong trường THCS, trong quá trình giảng dạy, đặc biệt là bồi dưỡng học sinh giỏi, tôi luôn luôn trăn trở, tìm tòi, chọn lọc những phương pháp hợp lý nhất để để dẫn dắt, hình thành cho học sinh một cách suy nghĩ mới làm quen với dạng toán này để dần dần các em có được một số phương pháp giải cơ bản nhất. Trong khuôn khổ nhỏ hẹp này tôi xin nêu ra "Một số kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 6 dạng chia hết". Trong quá trình bồi dưỡng học sinh giỏi, qua trao đổi kinh nghiệm và qua một số tài liệu tham khảo tôi thấy rằng đề tài này cũng đã được nghiên cứu rồi, tuy nhiên phạm vi nghiên cứu là học sinh của bậc trung học cơ sở. Cái mới của đề tài mà tôi chọn là tìm ra các kỹ năng giải toán mới hoặc các kỹ năng giải toán cũ song có cách vận dụng mới trong việc giải bài toán chia hết cho học sinh lớp 6; B. NỘI DUNG I. THỰC TRẠNG Từ tiểu học chuyển lên THCS, học sinh còn rất bỡ ngỡ với cách học mới, cách học đòi hỏi học sinh chủ động, tư duy sáng tạo, trong lúc các em đang quen với tính toán các số tự nhiên đơn giản, và các dấu hiệu cụ thể. Do vậy, học sinh áp dụng lý thuyết thuần tuý vào việc giải bài tập là một điều khó khăn, lúng túng không biết cách làm và thực hiện phép toán như thế nào. Chỉ có học sinh khá, giỏi mới có thể biết hướng làm, và giải quyết được vấn đề của bài toán. Tính chất chia hết là phần kiến thức quan trọng trong số học 6 nói riêng và chương trình toán THCS nói chung. Nhưng nhiều khi học sinh nắm chắc lý thuyết vẫn chưa biết cách vận dụng vào làm bài tập, các em chưa có khả năng tư duy sáng tạo, tư duy tổng hợp; Vì vậy, để giải quyết được vấn đề trên giáo viên cần có phương pháp để làm cho học sinh vận dụng lý thuyết vào giải bài tập một cách thành thạo và ngược lại, phải tạo cho học sinh hứng thú trong giải bài tập, và yêu thích môn học. Dạng toán chia hết các em đã được làm quen ở chương trình Tiểu học, tính chất chia hết của tổng là cơ sở để giải thích các dấu hiệu chia hết cho 2, 3, 5, 9. 2
2. - a  b và b  a a = b. - a  m, b  m (a + b)  m, (a – b)  m. - a  m, b  m (a + b)  m, (a – b)  m. - a  b và a  c mà (b; c) = 1 a  (b.c). - a.b  c và (b; c) = 1 thì a  c. - a  m k.a  m, với k N . - a  m, b  n a.b  m.n - a.b  m và m là số nguyên tố a  m hoặc b  m. -a  m an  m, với n N . - a  b an  bn, với n N . - a1  m, a2  m, a3  m, , an  m (a1 + a2 + a3 + + an)  m - a1  m, a2  m, a3  m, , an  m (a1 + a2 + a3+ + an)  m - a  m, b  m k1a + k2b  m - a  m, b  m; (a + b + c)  m c  m - a  m, b  m; (a + b + c)  m c  m 3. Các dấu hiệu chia hết a  2 a có chữ số tận cùng bằng 0; 2; 4; 6; 8. a  5 a có chữ số tận cùng bằng 0; 5. a  3 (hoặc 9) a có tổng các chữ số chia hết cho 3 (hoặc 9). a  4 (hoặc 25) hai chữ số tận cùng của nó tạo thành một số chia hết cho 4 (hoặc 25). Lấy chữ số đầu tiên nhân với 3 råi cộng thêm chữ số tiếp theo, được bao nhiêu nhân với 3 rồi cộng thêm chữ số tiếp theo; Cứ làm như vậy cho đến chữ số cuối cùng. Nếu kết quả cuối cùng này chia hết cho 7 thì số đó chia hết cho 7. a  8 (hoặc 125) ba chữ số tận cùng của nó tạo thành một số chia hết cho 8 (hoặc 125). a  11 tổng các chữ số hàng lẻ trừ đi tổng các chữ số hàng chẵn (hoặc ngược lại) chia hết cho 11. PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ CHIA HẾT 1. Phương pháp 1: Dựa vào tính chất của quan hệ chia hết 1.1. Dùng tính chất chia hết của một tổng, hiệu Để chứng minh a chia hết cho b (b # 0), ta biểu diễn số a dưới dạng một tổng của nhiều số hạng rồi chứng minh tất cả các số hạng đó đều chia hết cho b; Để chứng minh a không chia hết cho b (b # 0), ta biểu diễn số a dưới dạng một tổng của nhiều số hạng rồi chứng minh có một số hạng không chia hết cho b còn tất cả các số hạng còn lại đều chia hết cho b. Bài tập 1: Chứng minh rằng: a) 450 + 990 + 180 chia hết cho 9 b) 5125 + 1350 + 2350 chia hết cho 5 c) 5116 - 524 chia hết cho 4 Giải: a) 450  9, 990  9, 180  9 nên (450 + 990 + 180)  9 (tính chất chia hết của tổng) 4
3. Bài tập 6: Tìm số tự nhiên nhỏ nhất khác 1, sao cho khi chia số đó cho 2; 3; 4; 5 và 7 đều dư 1. Giải Gọi a là số tự nhiên khác 1 nhỏ nhất mà khi chia a cho 2; 3; 4; 5 và 7 đều dư 1. Khi đó a – 1 = b đồng thời chia hết cho 2; 3; 4; 5 và 7. Vì b chia hết cho 7 nên b = 7c, suy ra c chia hết cho 2; 3; 4; 5. Với c chia hết cho 5 thì c = 5d. Suy ra d chia hết cho 2; 3; 4. Giả sử d = 4e thi e chia hết cho 3. Số tự nhiên khác 0 nhỏ nhất chia hết cho 3 là 3 ta chọn e = 3. Suy ngược lại ta được số tự nhiên nhỏ nhất b = 420. Do đó số cần tìm là a = 420 + 1= 421. (b = BCNN (2,3,4,5,7) = 3.4.5.7 = 420). Bài tập 7: Tìm các số tự nhiên có 2 chữ số gấp 9 lần chữ số hàng đơn vị của nó Giải: Gọi số phải tìm là ab = 10a + b (1 a,b 9) Theo đề bài, ta có: 10a + b = 9b hay 10a = 8b suy ra 5a = 4b (1) suy ra 4b  5 mà (4, 5) = 1 nên b  5 vì (1 b 9) nên b = 5 thay b = 5 vào (1) ta được a = 4 Vậy số phải tìm là 45. Bài tập 8: Chứng minh rằng tích của 2 số chẵn liên tiếp luôn chia hết cho 8 Giải: Gọi 2 số chẵn liên tiếp là: 2n, 2n + 2 Tích của 2 số chẵn liên tiếp là: 2n.(2n + 2) = 4n.(n + 1) vì n và n + 1 không cùng tính chẵn lẻ nên n.(n+ 1)  2 mà 4 chia hết cho 4 nên 4n.(n + 1)  (4.2) hay 4n.(n + 1)  8 suy ra 2n.(2n + 2)  8. Vậy tích của 2 số chẵn liên tiếp luôn chia hết cho 8. 1.3. Vận dụng dấu hiệu chia hết liên quan đến các số nguyên tố, các số nguyên tố cùng nhau + Nếu tích ab m mà (b, m) = 1 thì a  m + Nếu a  m; a  n và (m, n) = 1 thì a  mn + Nếu a n  p (p là số nguyên tố) thì a  p Bài tập 9: Cho a, b là các số tự nhiên, n 0, biết a n  7 Chứng minh rằng: (a 2 + 98b)  49 Giải: Ta có a n  7 mà 7 là số nguyên tố nên a  7 suy ra a 2  7 2 hay a 2  49 Mặt khác: 98b  49 nên (a 2 + 98b)  49 (tính chất chia hết của một tổng). Bài tập 10: Tìm các số tự nhiên x để: a) (x + 4)  x (x ≠ 0) 6
4. b) 2009.2010 chia hết cho 3 c) 1411.2002 chia hết cho 17 Giải: a) Ta có: 26.2015 = 13.2.2015  13 (vì 13  13, theo định nghĩa) 39 b) Ta có: 2015.2013 = 3.671.2015  3 (vì 3  3, theo định nghĩa) 2013 c) Ta có: 1428.2000 = 17.84.2000  17 (vì 17  17, theo định nghĩa) 1428 Bài tập 2: Chứng minh rằng (6n)1992 chia hết cho 36 n N Giải: Ta có (6n)1992 = 61992. n1992 = 62.6996.n1992 = 36.6996.n1992 Vì 36  36 nên 36.6996.n1992 chia hết cho 36 (6n)1992 chia hết cho 36 n N Bài tập 3: Chứng minh rằng: C = 3 + 32 + 33 + 34 + + 3100 chia hết cho 40. Giải: C = 3 + 32 + 33 + 34 + + 3100 = (3 + 32 + 33 + 34) + (35 + 36 + 37 + 38) + + (397 + 398 + 399 + 3100) = 3(1 + 3 + 32 + 33) + 35(1 + 3 + 32 + 33) + + 397(1 + 3 + 32 + 33) = 3.40 + 35.40 + 397.40 = 40(3 + 35 + +397) Vì 40  40 nên 40(3 + 35 + +397)  40 Vậy C = 3 + 32 + 33 + 34 + + 3100  40 * Nhận xét cách giải ba bài tập trên: Chúng ta vận dụng các tính chất, quy tắc, các phép biến đổi phân tích một số, hoặc một tổng, hiệu xuất hiện thừa số chia hết cho số cần chia, tức là vận dụng định nghĩa để chứng minh. 3. Phương pháp 3: Dùng dấu hiệu chia hết Bài tập 1: Điền chữ số vào dấu * để: a) 4*6 chia hết cho 3 b) 3*6 chia hết cho 9 Giải: a) 4*6  3 (4 + * + 6)  3 (10 + *)  3 * {2; 5; 8} b) 3*6  9 (3 + * + 6)  9 (9 + *)  9 * {0; 9} Bài tập 2: Tìm chữ số a và b để số a54b chia hết cho cả 2, 3, 5, 9 Gợi ý: Đầu tiên phải đề cập đến chia hết cho 2 và 5 vì nó liên quan đến chữ số tận cùng; Sau đó, khi đã có chữ số tận cùng, ta xét tổng các chữ số vì nó liên quan đến chia hết cho 9. Ở đây ta không cần quan tâm đến chia hết cho 3, vì số chia hết cho 9 thì đương nhiên chia hết cho 3. Giải: Để số a54b chia hết cho cả 2 và 5 thì b = 0 8
5. Kết quả trên là một sự bất ngờ đối với bản thân tôi. Tôi không dám chắc chắn rằng những biện pháp mà tôi đã đưa ra là tối ưu nhất, hiệt quả nhất, nhưng kết quả mà học sinh đạt được qua quá trình tôi giảng dạy thật sự là niềm vui, niềm hứng thú đối với tôi trong công tác; Qua kết quả khảo sát đó, tôi đã cố gắng giảng dạy cho các em và dần dần tôi đã thấy được sự tiến bộ của học sinh qua việc giải bài tập. Tôi nhận thấy hầu hết các em đã biết trình bày bài toán dạng này. Phần lớn học sinh đã có hứng thú giải những bài toán về chia hết, các em không còn lúng túng khi gặp dạng toán này nữa. Các em đã biết nhận dạng bài toán và vận dụng các kiến thức đã học để giải bài toán một cách chính xác, Nhiều em khá, giỏi đã tìm ra được cách giải hay và ngắn gọn phù hợp. Tuy vậy, bên cạnh những kết quả đạt được thì vẫn còn một số ít học sinh chưa có khả năng tự mình giải được những bài toán chia hết. Đối với các học sinh này, đây là một dạng toán thực sự khó khăn. Một phần cũng là do khả năng học toán của các em còn hạn chế, mặt khác dạng toán này lại rất khó, đòi hỏi sự tư duy nhiều ở các em. 2. Kết luận Các bài toán chia hết chiếm một số lượng không nhỏ trong chương trình toán bậc trung học cơ sở. Việc xây dựng một hệ thống kiến thức cơ bản, dựa vào đó để tìm ra các phương pháp giải bài toán chia hết, giúp các em học sinh, nhất là học sinh giỏi có kỹ năng thành thạo, linh hoạt, sáng tạo khi học dạng toán này không chỉ là mong muốn của riêng bản thân tôi mà còn là điều trăn trở của rất nhiều đồng nghiệp đang bồi dưỡng học sinh giỏi Toán; Trong khuôn khổ và thời gian có hạn, trên đây tôi chỉ mới dừng lại các phương phương pháp giải toán chia hết đối với học sinh lớp 6. Các phương pháp đó sẽ được mở rộng, hoàn thiện khi các em được trang bị thêm một số kiến thức ở lớp 7, lớp 8, Khi đó, các em sẽ gặp và giải được những bài toán khó hơn, phức tạp hơn. Tân Thạnh, ngày 15 tháng 5 năm 2018 Người viết Lê Nguyên Khang 10
6. Mẫu 02 HỘI ĐỒNG KHOA HỌC PHÒNG GD-ĐT TX GIÁ RAI PHẦN NHẬN XÉT ĐÁNH GIÁ, XẾP LOẠI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM (Trang cuối của SKKN) 1. Kết quả chấm điểm: . . . . . . /100 điểm a) Về nội dung: - Tính mới: /30 điểm - Tính hiệu quả: /35 điểm - Tính ứng dụng thực tiễn: /20 điểm - Tính khoa học: /10 điểm b) Về hình thức: /05 điểm 2. Xếp loại: Giá Rai, ngày tháng năm 2018 CHỦ TỊCH HĐKH 12